设f(x)=arctan[(1+x)/(1-x)],试求f(x)的n阶导数在x=0点的值

f'(x)=1/(1+x^2) （和y=arctanx相同）
y=arctanx的n阶导：
y'=1/(1+x^2)=1－x^2+x^4……(-1)^n * x^2n
y=x－(x^3)/3 + (x^5)/5……(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)
再由泰勒公式
y=∑ f(0)n阶导 * x^n / n!
对比x^n的系数，当n=2k时，f(0)n阶导=0
当n=2k+1，f(0)n阶导= (-1)^k * (2K)!

求高阶导数是泰勒公式，或者幂级数的一个主要应用。

主要是利用表达式的唯一性。

一方面，由定义，f（x）＝arctanx 的麦克老林公式中，x^n的系数是：f（n）（0） / n！，f（n）（0）表示在x＝0处的n阶导数。

另一方面，f ' （x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n），所以，f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/ （2n＋1）

比较两个表达式中x^n的系数，得：

当n为偶数时，f（x）在x＝0处的n阶导数是0；

当n为奇数时，设n＝2m＋1，f（x）在x＝0处的n阶导数是：（－1）^m× （2m）！